随笔

当今社会有一个广泛存在的共同认知，即将学习与备考混为一谈。例如，“某同学学习很好”、“学习经验分享”、“周末在图书馆学了一整天”，在这些语境中，仔细想一想，“学习”其实不是“学习”，而是“备考”。可见，从领导到教师，从家长到学生，在不经意间将“学习”的含义偷换为“备考”的情况普遍存在。 学习很大程度上不同于备考 在这个主题之下，第一个问题就是学习到底怎么不同于备考。这就涉及两个词的定义问题。从字面意思上说，“学习”是“学会新内容”，“备考”就是“准备考试”，“学习”是过程、结果，“备考”是目的，二者本身就是不同维度的概念。从时间上说，似乎应该是先学习，后复习、备考，与其说“学习”与“备考”，不如说“备考”和“复习”的关系更大。但正如“温故知新”所提倡的，合格的复习应该能起到学习新内容的效果，否则只能说复习的效果不大。当然，新内容不一定是全新的知识，也可能是已有知识的全新认知。 在这些讨论的基础上说，学习与备考似乎关系很大：在备考时，我们需要复习旧知识，并将其融会贯通，形成知识体系，在复习的过程中实现学习。听着很好，但这也是学校中最常出现的空话之一。从逻辑上说，的确如此，绝对谈不上“学习”不同于“备考”。但如果从理论走向实际，情况就大不相同了。 各位读者都是上过高中的，请大家扪心自问：备考的过程中，实际上有多少时间在复习旧知识？其实并不多。实际上，笔者认为大家都会同意，大量的时间都花在了做题上。但是，有人会说，难道做题就不能帮助我们复习旧知识了吗？当然可以，而且应该说做题是一个巩固旧知识的相当有效的方式。但是，请读者思考，当你学会一个知识，第一次做题让你有了切身体会，接下来的几次做题让你熟练掌握。这些时间，固然让我们有所收获，但这些事情往往发生在备考的核心时间之前。备考时，大量的时间都花在一遍一遍重复学会的知识和技术，而这些重复，往往是没有任何收获的重复。没有学到任何新内容，自然谈不上与学习相关。 但是，有人会反驳：我在一遍一遍刷题的过程中，还是学到了很多知识和解题技巧；就算没学到，至少做题速度也加快了。诚然，这种说法是有一定道理的。如果学习单纯就是“学会新内容”，那么这么说自然没错，即便是备考，我们也学习到了一些东西。但或许我们在说“学习”的时候，有一个隐含的共识：学习到的知识，要是有意义的。备考过程中，我们学到的解题技巧、提升的做题速度，除了对于考试，其他都没什么价值，也不太可能在其他领域用到，因此我们说备考算不上学习。当然，如果坚持“学习”的字面意思死死不放，不考虑实际意义的问题，那么说备考过程中我们能有所学习，当然也是没问题的，但这就与我们的讨论关系不大了。 重要性 那么，这个问题重要吗？就算大家混淆了学习与备考，又怎么样呢？将学习和备考混淆的最大危害，就是大家把对于备考的厌恶，错误地投到了学习上。请读者首先看一看这几个说法，看看自己是否赞同。 学习是枯燥的； 学习是被迫的； 学习是困难的。 这或许是社会主流的对于学习的直观感受。但笔者认为，这些对于学习的负面评价，本质上都是对于备考的评价，只不过被错误投到了学习上。这导致很多人，原本有学习的动力，但在备考的过程中变得厌恶学习。笔者完全反对上面三个观点，望读者放下偏见，仔细考虑下文的论证。 笔者认为，大家大概都赞同，刷视频、玩游戏正和上面说的三点恰恰相反，不枯燥、不被迫、也不困难。不妨将它们与学习做一个比较。关于短视频、游戏为什么吸引人，已经有一套广为接受的理论。我们主要谈最重要的两点： 能给人提供新鲜感； 能提供即时反馈。 其实仔细想想，如果脱离了备考的语境，学习完全符合这两点条件。因为无所谓备考，所以不会把同样的知识重复几十次、上百次，时间主要用于学习新知识，因此自然能提供大量的新鲜感；因为无所谓备考，所以不需要面对众多偏难怪的题目，因此很容易获得“我学会了新知识”的成就感，也就是即时反馈。而偏难怪的题目就引出了下一个问题：学习困难吗？笔者的观点是，困难的部分比主流的观点少很多，只有极少数的学习内容有难度。接下来我们从几个角度讨论这个问题。请读者注意，接下来本文会使用很多数学的例子，这是由于数学的群众基础足够广泛，而且被公认比较难。 考试难，而不是学习难 首先，请读者考虑，高考难吗？这个问题固然因人而异，但不得不说的是，如果你的观点是“难”，那么很有可能你认为的难，不是知识难，而是考题难。请读者考虑一下，到底是高中的知识难，还是面向高考的各类题目难？以导数为例，求导本身有很大的难度吗？分类讨论有很大的难度吗？还是说导数题有难度？如果仔细考虑一下，笔者认为大多数人都会认同，相比于题目，知识是很简单的。而且，这里说的题目，专指编出来用于选拔的题目。例如，如果看一看课本上的例题，笔者认为大家都不会认为题目很难，只是考试题难。这样，以前一部分关于学习与备考的定义为基础，我们可以得出结论：备考是困难的，但学习不难。 进一步说，考试题难在哪里呢？笔者认为主要有两个方向。 第一个方向很好理解，就是题量大、时间少，做不完。这种题目，直白的说就是水平很低。这个的典型代表就是高考的解析几何大题，人人都会算，做不出来的都不是不会，而是算不完。但事实上这和学习没有什么关系，甚至笔者认为这种题目放到考试中，就是出题人水平低的表现。实际上，当代计算机已经很发达，相关的软件也很便利，当代的计算机，远远不是手机计算器的水平，而是能承担几乎一切计算任务，从多项式到微积分都能算，甚至像 Lean 这种验证证明是否正确的工具都已经出现。真正复杂的计算，举个例子，化简一个几百项的多项式，不可能由人来做。就算把圆锥曲线的题目练到极致，也不可能比肩计算机的速度。 有人会说，题量大是在督促我们优化解法，构想更优的思路，所谓“多思少算”，就像科学研究一样。这个观点有一定道理，但同样不太合理。诚然，手算能让我们对计算有深刻体会。但深刻体会，与其说来源于大量计算，不如说来源于大量计算后的反思。另一方面，计算方法本身是要学习的，自己手算大量的题目固然重要，但学习他人已有的方法同样重要。但这两点都是和“考试”背道而驰的。实际上，考试并不要求反思、学习，甚至还排斥它们。一个最典型的例子是2020 年全国高考 I 卷： 已知 $A, B$ 分别为椭圆 $E:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1\ (a>1)$ 的左、右顶点，$G$ 为 $E$ 的上顶点，$\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{GB}=8$，$P$ 为直线 $x=6$ 上的动点，$PA$ 与 $E$ 的另一交点为 $C$，$PB$ 与 $E$ 的另一交点为 $D$。 （1）求 $E$ 的方程：过程略，答案：$\frac{x^2}{9}+y^2=1$ （2）证明：直线 $CD$ 过定点。 解：以弦 $AB$ 与 $CD$ 交点 $M(x_0,0)$ 为极点，$AC$ 与 $BD$ 的交点一定在极线 $\frac{x_0 x}{9}+y_0 y=1$ 上，即 $\frac{x_0 x}{9}+y_0 y=1$ 与 $x=6$ 为同一条直线，由此可推出 $x_0=\frac{3}{2}$，即 $CD$ 恒过定点 $\left(\frac{3}{2},0\right)$。 ...

曾经，任何一篇较为深入的文章的作者，在写作时都会遇到简明与易懂的抉择。假如希望自己的文章通俗易懂，那么就需要对引用的概念进行解释，这就导致一篇文章很容易非常冗长，重点得不到凸显，非常考验作者的谋篇布局水平。更重要的是，解释这种概念本身是一种重复性工作，对于外行的读者的确能起一定的辅助作用，但对于内行的读者来说就是冗余，并且对于作者来说也是一种负担。倘若希望自己的文章简明扼要，情况就正好相反，利好作者与内行的读者，但无形中对于外行的读者增加了门槛。 举个例子，在大语言模型的语境中，如果简明的说法是：“在注意力层计算前，需要先对输入向量进行标准化。”那么，易懂的说法就要解释什么是注意力，什么是注意力层，什么是标准化，为什么输入是以向量的形式。如果受众的知识水平更低，那么甚至要解释什么是向量。当然，如果受众的水平要求作者解释什么是向量，那么实际情况中一般干脆不写这句话了。总之，作者必须在简明与易懂之间找到一个平衡，尽可能让大多数自己的目标受众能理解自己的文章。 这个问题的本质在于，就像大语言模型的上下文有限一样，人脑的“上下文”也是有限的。但问题在于，世界在很多时候是相当复杂的，而在认识世界、改造世界的目的之下，我们很多情况下必须要理解极端复杂的事物。这导致人必须进行多级的抽象，将复杂度“折叠”起来，降低认知成本。推广而言，这个问题相当普遍，试举几例： 证明一个几何学的命题，理论上说只用公理就完全可以，但我们创造了定理、推论、引理等等，将常用的结论封装起来，在一个复杂的问题中直接使用； 写代码的过程中，我们已经很少用机器语言、汇编语言书写，至少都在使用 C 语言这样的低级语言。而当前最前沿的大语言模型领域，居于统治地位的是 Python，原因就在于 Python 高级语言的特性封装了很多低级特性，让工程师可以专注逻辑本身； 同样是写代码，如果要写一个大型项目，架构设计都是相当重要的组成部分。每一层都将本层的复杂度封装为接口，暴露给上一层的只有使用方法。这允许每一层只用关注本层的一小部分逻辑，将不同的逻辑模块解耦； 任何一个学科，都会有自己的专有名词，将核心概念封装起来。倘若没有这种专有名词，学术交流都将变得难以进行； 在做饭的过程中，我们更多关注的是如何烹饪，并不关心粮食的种植、运输、售卖。 在过去，人们提出了几种办法缓解这种情况。 典型代表是维基百科，解决办法是做一个“知识库”，将不同的概念分散在不同的页面中，并提供跳转的超链接。但问题是，这样的效果未必好。原因在于各个页面都是相互独立的，缺乏基础知识的读者，很难真正通过查百科学会一个概念，很难直接理解并运用。 典型代表是各种教材，解决办法包括两点。首先限定读者的知识水平，例如初二的教材就限定读者刚刚学完初一的课程；其次在设计课程的时候考虑前后相继，在靠前的教材中讲清楚靠后的教材所需要用到的所有概念。这种方法的问题在于，适用面太窄，只对体系完备的宏大项目有用，大多数情况下我们都不会写一本教材。 以上两种方法，有几个共性的问题。第一是重复造轮子，如果大家都运用这个方法，那么不同的文章就要重复解释同一个事物。更重要的问题如本文开头所述。如果解释太细，那么搭建成本高，需要解释的内容太多，即使使用超链接的方式，也只是减轻了读者的负担，并没有减轻作者的负担。如果解释的粒度太粗，那么相当于放弃了很多读者。在尝试平衡二者时，很难兼顾所有情况，让所有读者都得到自己所需要的。也就是说，灵活性太差。 但最近，大语言模型的出现，似乎改变了这种情况。例如，同样是开头的这句关于大语言模型的论述，现在的读者完全可以复制并粘贴到聊天框中，例如： 请帮忙解释一下这段话中的专有名词，用通俗易懂的语言：在注意力层计算前，需要先对输入向量进行标准化。 读者可以自行尝试。在这里粘贴我得到的回答意义不大，因为大语言模型日新月异，新的模型总体来说强于旧的模型。对于读者来说，这相比传统的方法有两个难以比拟的好处： 个性化。不同的读者可以选择不同的提示词，例如可以要求使用生活化的比喻来解释，或者告诉大语言模型自己对其中某个已经了解，但对另外一些不了解。 交互性。如果大语言模型解释之后，自己仍然没有完全理解，完全可以追问。 对于作者来说，好处同样很明显，也就是解放了作者的思想，让作者不必考虑通俗性的问题，可以专注文章核心内容本身。进一步说，如果说文字的价值有大小之分，我想当今时代一个很重要的判定标准就是：AI 能否写出来。像专有名词解释这件事，AI 完全能做，且很多情况下做的比人更好。那么，我认为这就应该放心交给 AI。这样，创作者的精力就能更多的放在 AI 写不出来的内容上，而这些内容，往往更有价值。 当然，这个判断当然也不绝对，有些概念需要作者深入讲解，此时完全不解释，让读者自行询问 AI 自然不合适。但事实上，如果 AI 能完成 80% 的工作，那么何不让它完成呢？我们作为人，得以专注剩下 20% 的工作，本身就是一种进步。 我立志写一些 AI 写不出来的内容，并且希望尽可能少地写一些 AI 能写出来、甚至写得比我更好的的内容，于是写了这篇文章，作为一篇观前提示。望读者了解我的态度，谅解我在其他文章中对一些概念不做解释的行为，同时希望我的文章能更加聚焦核心观点，以精炼的语言对读者有所启发。