笔者曾计划在一个高中数学项目中写一份系统讲义，后来由于种种原因只写了这一篇。但笔者认为这篇讲义是笔者所持教育理念的具像化表示，意义相当重大，遂保留这篇讲义，作为一个展示性的文档保留下来。 在函数的学习过程中, 我们已经学习到两个看函数的视角. 在初中, 我们对于函数的理解是: 当一个变量 $x$ 变化时, 另一个变量 $y$ 也随之变化, 则称 $x$ 为自变量, $y$ 为因变量, $y$ 是 $x$ 的函数. 在高中, 我们学习了集合, 学会了用集合的严格地描述函数: 对于集合 $A$ 中的任意一个数 $x$ , 按照某种确定的对应关系 $f$ , 在集合 $B$ 中都有唯一确定的数 $y$ 和它对应, 那么就称 $f: A\rightarrow B$ 为从集合 $A$ 到集合 $B$ 到一个函数, 记作 $y=f(x),x\in A$ . 问题 1 初中和高中对于函数的理解有何差异和联系? ...
前言 这篇文章是 圆锥曲线题目的三维矢量解法 的一系列文章的学习心得。第一次看到“三维矢量解法”，我叹服于它的优美与简洁，但是它的难度让我望而却步。查阅了很多资料之后，我大致对“三维矢量解法”有了一个初步的认识。为了理清思路，也为了让更多人了解到这个方法，我写下了这篇文章。相比于“三维矢量解法”这个名字，我认为“张量法”更具有概括性，因此以“张量法”作为标题。 整个张量法做的事情，主要是发展了齐次坐标背景下用向量表示点和直线的思想，用张量这一概念来重新建构射影几何的一些内容。这个方法特别强调点与线的对偶关系，建立起了一套对偶性质非常好的数学工具描述平面解析几何中的几何对象。 这篇文章中介绍的张量以及其他一些知识，主要目的是为了解决圆锥曲线的问题，可能会与原文有小幅度差异，请读者注意。 接下来的内容大量地应用了齐次坐标，不了解齐次坐标的读者可以看这两个视频：三种圆锥曲线究竟有啥区别？和【圆锥曲线】“齐次化"到底是在干啥？从齐次坐标到射影变换。 一、张量的语言 张量的概念 我们知道，仅有大小的量称为标量或数量，可以用一个数字表示；既有大小又有方向的量称为矢量或向量，可以根据空间维度建立坐标系，写成一组排成一行的分量的形式，其中每个分量是一个实数，也就是标量。 那么，有没有一种东西，它的分量不再是实数，而是矢量呢？答案是肯定的。我们将这种东西称为二阶张量。在这种意义下，矢量可以看作一阶张量，实数可以看作零阶张量。类似地，有三阶、四阶甚至更高阶的张量，它们的分量是二阶或三阶张量。 一个张量的每一层结构需要是相同的。如果一个二阶张量的一个分量是三维矢量，那么它所有的分量都应当是三维矢量。例如， $((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$ 是张量，而 $((1,2,3),(4,5,6),(7,8))$ 不是张量。 一个矢量分量的个数称为维度，例如三维矢量是类似 $(x,y,z)$ 的形式。我们把矢量的维度记为 $n$ 。类似地，对于张量，其中每个矢量分量的个数称为张量的维度，同样记为 $n$ ，例如， $n=3$ 时，一个张量可能是这样： $((1,2,3),(4,5,6),(7,8,9))$ 。在这篇文章中，我们讨论的大多数张量的维度都是 $3$ 。 虽然我们是根据分量的类型定义的张量，但是我们认为，与矢量类似，张量是一个几何对象，即使不建立坐标系，张量依旧存在。有了坐标系，张量的分量就确定了。我们把建立的坐标系称为规范。张量的一些性质是与坐标系无关的，对于任意坐标系都成立，这些性质称为规范不变的；与之相对的，张量的一些性质会随坐标系改变，就称为不是规范不变的。相对而言，我们更关心的是规范不变的性质。 张量的表示 对于矢量，我们常缩写为一个上方带箭头的字母。但是对于张量，这是不够的。首先，我们至少要区分一阶与二阶张量；其次，在本文中我们主要的研究对象是点和线，我们将使用张量表示它们，因此通过记号区分点和线也是必要的。 我们引入上标和下标来区分不同类型的张量。有 $k$ 个上指标和 $l$ 个下指标的张量称作 $(k,l)$ 型张量，例如 $A^{ij}\space _k\space ^l$ 是一个 $(3,1)$ 型张量。上标和下标个数的总和称为张量的阶数。在张量中，指标的上下、顺序都是重要的，而用于表示指标的字母是不重要的。 我们用含一个上标的字母表示 $(1,0)$ 型张量，或称为矢量，如 $a^i$ ；用含一个下标的字母表示 $(0,1)$ 型张量，或称为对偶矢量，如 $l_i$ ；用含两个不同上标的字母表示 $(2,0)$ 张量，如 $g^{ij}$ ；用含两个不同下标的字母表示 $(0,2)$ 型张量，如 $f_{ij}$ 。这样的上标和下标是不固定的，可以取遍不超过张量维度 $n$ 的整数，所以被称为“自由指标”。今后我们对张量做运算时，经常用对自由指标的操作来代指对张量的所有分量进行相同的操作。 为了区分上指标和下指标，我们用圆括号表示上指标的层级，方括号表示下指标的层级。这将在后文“点和直线的表示”一节中详细讨论。 张量的上标和下标具体的字母是可以任意选择的，例如 $a^i$ 与 $a^j$ 表示同一个张量。但是在含有多个张量的式子中需要注意不与其他张量冲突。上标和下标的顺序在一般的张量中是不能互换的。 特别地，如果将张量的两个指标互换位置，张量不变，则称张量关于这两个指标对称。在我们的方法中，大多数时候处理的都是对称的张量，这时上标和下标的顺序是可以交换的。 如果将上标和下标的位置换成数字，就不再表示整个张量，而表示那个位置的分量。例如 ...